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Analyse matricielle - Cours...

Table des matières

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Analyse matricielle - Cours et exercices résolus 1
Analyse matricielle 3
Table des matières 5
Avant-propos 7
Chapitre 1 - Polynômes minimal et caractéristique. Sous espaces caractéristiques 9
1.1 Définitions et premières propriétés 10
1.2 Localisation des valeurs propres d’une matrice complexe 15
1.3 Matrice compagnon d’un polynôme 18
1.4 Le théorème de Cayley-Hamilton 21
1.5 Méthodes de calcul du polynôme caractéristique d’une matrice complexe 22
1.6 Sous espaces caractéristiques 25
1.7 Exercices 29
Chapitre 2 - Réduction des endomorphismes et des matrices 39
2.1 Trigonalisation 39
2.2 Diagonalisation 41
2.4 Réduction des matrices orthogonales 48
2.5 Réduction des matrices symétriques réelles 50
2.6 Tridiagonalisation des matrices symétriques réelles. Méthode de Householder 52
2.8 Réduction des matrices normales 57
2.9 Forme réduite de Jordan 60
2.10 Exercices 64
Chapitre 3 - L’espace vectoriel normé Mn (K) (K = R ou C) 81
3.1 Norme matricielle induite par une norme vectorielle 81
3.2 Le groupe topologique GLn (K) 85
3.3 Propriétés topologiques de l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) 91
3.4 Rayon spectral d’une matrice complexe 94
3.5 Conditionnement d’une matrice 102
3.6 Quotient de Rayleigh-Ritz et Hausdorffien 104
3.7 Conditionnement des problèmes de valeurs propres 107
3.8 Exercices 110
Chapitre 4 - Matrices positives etirréductibles 131
4.1 Matrices positives 131
4.2 Matrices strictement positives et théorème de Perron-Frobenius 136
4.3 Matrices irréductibles 142
4.4 Matrices primitives 147
4.5 Matrices stochastiques et bistochastiques 149
4.6 Exercices 162
Chapitre 5 - Systèmes linéaires 169
5.1 Position des problèmes et notations 169
5.2 Problèmes numériques liés à la résolution des systèmes linéaires 170
5.3 Cas des matrices triangulaires 172
5.4 Matrices de dilatation et de transvection. Opérations élémentaires 172
5.5 Méthode des pivots de Gauss 176
5.6 Résolution des systèmes linéaires à coefficients entiers 178
5.7 Décomposition LR ou méthode de Crout 179
5.8 Décomposition LD tL des matrices symétriques réelles 182
5.9 Décomposition de Cholesky des matrices symétriques réelles définies positives 183
5.10 Méthode d’élimination de Gauss-Jordan 184
5.11 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 185
5.12 Méthode de Jacobi 186
5.13 Méthode de Gauss-Seidel 187
5.14 Méthode de relaxation 189
5.15 Méthodes de descente et de gradient 196
5.16 Exercices 204
Chapitre 6 - Calcul approché des valeurs et vecteurs propres 217
6.1 Introduction 217
6.2 Méthode de la puissance itérée 217
6.3 Méthode de Jacobi pour les matrices symétriques 221
6.4 La méthode de Givens et Householder 226
Chapitre 7 - Systèmes différentiels linéaires et exponentielle d’une matrice 237
7.1 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 237
7.2 L’exponentielle d’une matrice 241
7.3 Un algorithme de calcul de l’exponentielle d’une matrice 247
7.4 Equations différentielles linéaires d’ordre n à coefficients constants 248
7.5 Systèmes différentiels linéaires à coefficients non constants 250
7.6 Méthode de variation des constantes 253
7.7 Surjectivité et injectivité de l’exponentielle matricielle 255
7.8 Exercices 259
Bibliographie 269
Index 271

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