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ÉLÉMENTS D’ANALYSE RÉELLE

Table des matières

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ÉLÉMENTS D’ANALYSE RÉELLE 1
Éléments d’analyse réelle - 2e édition 3
Table des matières 5
Avant-propos 9
Chapitre 1 - Espaces métriques 15
1.1 Topologie associée à une distance 15
1.2 Suites à valeurs dans un espace métrique 19
1.3 Limites et continuité 25
1.4 Propriétés globales des fonctions continues 27
1.5 Exercices 32
Chapitre 2 - Espaces normés 39
2.1 Semi-normes et normes 39
2.2 Applications linéaires continues 44
2.3 Espaces vectoriels normés de dimension finie 48
2.4 Exercices 51
Chapitre 3 - Espaces préhilbertiens 63
3.1 Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski 64
3.2 Orthogonalité 67
3.3 Orthogonalisation de Gram-Schmidt 68
3.4 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien 70
3.5 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval 74
3.6 Déterminants de Gram 78
3.7 Les théorèmes de Müntz 83
3.8 Exercices 89
Chapitre 4 - Suites numériques 101
4.1 Suites numériques convergentes 101
4.2 Suites réelles monotones, adjacentes 107
4.3 Développement décimal d’un réel 112
4.4 Fractions continues 120
4.5 Sous-groupes additifs de R 128
4.6 Moyennes de Cesàro 130
4.7 Limites supérieure et inférieure 134
4.8 Exercices 136
Chapitre 5 - Vitesse et accélération de la convergence des suites réelles 153
5.1 Vitesse de convergence 153
5.2 Accélération de la convergence 157
5.3 Méthode d’accélération d’Aitken 158
5.4 Méthode d’accélération de Richardson 160
5.5 Exercices 165
Chapitre 6 - Limites et continuité des fonctions d’une variable réelle 175
6.1 Limite et continuité en un point 175
6.2 Opérations sur les fonctions continues 181
6.3 Fonctions périodiques continues 183
6.4 Propriétés globales des fonctions continues 183
6.5 Le théorème des valeurs intermédiaires 187
6.6 Fonctions réciproques 189
6.7 Prépondérance, domination et équivalents 192
6.8 Exercices 198
Chapitre 7 - Dérivées des fonctions d’une variable réelle 211
7.1 Dérivée d’ordre 1 et dérivées d’ordre supérieur 211
7.2 Opérations sur les fonctions dérivables 215
7.3 Sens de variation d’une fonction 219
7.4 Dérivée logarithmique 222
7.5 Extrema et dérivation 223
7.6 Position d’une courbe par rapport aux sécantes et aux tangentes 226
7.7 Dérivation et intégration 228
7.8 Suites de fonctions dérivables 229
7.9 Fonctions différentiables 230
7.10 Exercices 231
Chapitre 8 - Fonctions convexes 239
8.1 Fonctions convexes 239
8.2 Régularité des fonctions convexes 245
8.3 Inégalités de convexité 253
8.4 Exercices 259
Chapitre 9 - Théorèmes de Rolle et des accroissements finis 265
9.1 Le théorème de Rolle 265
9.2 Applications du théorème de Rolle 268
9.3 Théorème et inégalité des accroissements finis 272
9.4 Applications des théorèmes et inégalités des accroissements finis 275
9.5 Exercices 293
Chapitre 10 - Les formules de Taylor 301
10.1 La formule de Taylor-Lagrange 301
10.2 Formule de Taylor avec reste intégral 302
10.3 Cas des fonctions de plusieurs variables 303
10.4 Applications des formules de Taylor 306
10.5 Exercices 317
Chapitre 11 - Développements limités 321
11.1 Le théorème de Taylor-Young 323
11.2 Opérations sur les développements limités 324
11.3 Utilisation des développements limités 329
11.4 Exercices 337
Chapitre 12 - Points fixes et approximations successives 343
12.1 Le théorème du point fixe de Picard 343
12.2 Cas des fonctions d’une variable réelle 348
12.3 Suites homographiques 351
12.4 Applications à la résolution d’équations numériques 356
12.5 Exercices 362
Chapitre 13 - Équations fonctionnelles 369
13.1 Morphismes du groupe additif (R, +) dans lui-même 369
13.2 Morphismes de groupes de (R, +) dans (C, +) 371
13.3 Morphismes du groupe (C, +) dans lui-même 372
13.4 Morphismes de groupes de (R∗, ·) dans (R, +) 372
13.5 L’équation fonctionnelle f(x + y) = f(x) f(y) sur R 374
13.6 L’équation fonctionnelle f(xy) = f(x) f(y) sur R+,∗ 375
13.7 L’équation fonctionnelle f(x + y)+f(x − y) =2 f(x) f(y) sur R 375
13.8 L’exponentielle complexe 377
13.9 L’équation fonctionnelle f(x + 1) = x f(x) 378
13.10 L’équation fonctionnelle f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) sur R3 381
13.11 Suites complexes définies par une relation de récurrence linéaire 385
13.12 Exercices 389
Chapitre 14 - Équations différentielleslinéaires 395
14.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre 395
14.2 Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 399
14.3 Équations différentielles linéaires d’ordre n à coefficients constants 403
14.4 Équations différentielles linéaires d’ordre n 406
14.5 Racines des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 408
14.6 Équations différentielles linéaires à coefficients développables en série entière 413
14.7 Exercices 416
Chapitre 15 - Polynômes orthogonaux 431
15.1 Produit scalaire associé à une fonction poids et polynômes orthogonaux 431
15.2 Polynômes orthogonaux classiques, formules de Rodrigues 439
15.3 Les polynômes de Legendre 446
15.4 Développement en série de polynômes orthogonaux 454
15.5 Exercices 460
Bibliographie 467
Index 469

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